Рассмотрим какую-либо неподвижно закрепленную упругую систему, на которую с высоты h падает груз Я (рис. 6.14). Пройдя путь , груз Р, движущийся с некоторой скоростью, приходит в соприкосновение с неподвижной системой. Это явление называется ударом. При изучении удара предполагаем, что удар является неупругим, т. е. ударяющее тело не отскакивает от конструкции, а перемещается вместе с ней.
После удара в некоторый момент времени скорость перемещения груза станрвится равной нулю. В этот момент деформация конструкции и напряжения, возникающие в ней, достигают своих наибольших значений. Затем происходят постепенно затухающие колебания системы и груза; в результате устанавливается состояние статического равновесия, при котором деформации конструкции и напряжения в ней равны деформациям и напряжениям, возникающим от статически действующей силы Р.
Система, подвергающаяся удару, может испытывать различные виды деформаций: сжатие (рис. 6.14, а), изгиб (рис. 6.14, б,в), кручение с изгибом (рис. 6.14, г) и др.
Целью расчета сооружения на удар является определение наибольших деформаций и напряжений, возникающих в результате удара.
В курсе сопротивления материалов предполагается, что напряжения, возникающие в системе при ударе, не превышают пределов упругости и пропорциональности материала, а потому при изучении удара можно использовать закон Гука.
В основе приближенной теории удара, рассматриваемой в курсе сопротивления материалов, лежит гипотеза о том, что эпюра перемещений системы от груза Р при ударе (в любой момент времени) подобна эпюре перемещений, возникающих от этого же груза, но действующего статически.
Если, например, эпюра наибольших прогибов балки от удара по ней падающим с высоты h грузом Р (динамических прогибов) имеет вид, показанный на рис. 7.14, а, а эпюра прогибов от статически приложенной силы Р (статических прогибов - вид, изображенный на рис. 7.14, б, то на основании указанной гипотезы
где - динамические прогибы (от удара грузом Р) в сечениях балки соответственно с абсциссой и под грузом; - статические прогибы (от силы Р, действующей статически) в тех же сечениях; - динамический коэффициент.
Из приведенной гипотезы следует, что скорости движения различных точек системы, воспринимающей удар, в каждый момент времени относятся друг к другу как перемещения этих точек от статически действующего груза Р. В тот момент времени, когда скорость движения точки системы в месте удара равна нулю, скорости движения всех остальных ее точек также равны нулю.
Рассмотрим сначала расчет на удар в случаях, когда масса упругого тела, подвергающегося удару, мала и ее при расчете можно принять равной нулю. Для этих случаев приведенная выше гипотеза становится точной, а не приближенной, и потому позволяет получить точное решение задачи.
Обозначим А наибольшее перемещение системы по направлению груза Р (см. рис. 6.14).
Тогда работа груза в результате падения его с высоты h равна . В момент времени, когда деформация системы достигает наибольшей величины, скорости движения груза и системы, а следовательно, и кинетическая энергия их равны нулю. Работа груза к этому моменту равна, таким образом, потенциальной энергии U деформации упругой системы, т. е.
Из сформулированной выше гипотезы следует, что перемещения точек упругой системы, возникающие в результате удара (динами-ческие перемещения), можно получить путем умножения перемещений, возникающих от статического действия силы Р, на динамический коэффициент [см. формулу (7.14)].
Таким образом, перемещение от динамического (ударного) действия нагрузки можно рассматривать как статическое перемещение от силы действующей по направлению силы Р. Тогда потенциальная энергия деформации системы [см. формулы (4.11) и (10.11)]
Здесь - наибольшая сила, с которой груз давит на упругую систему (когда она имеет наибольшую деформацию). Эта сила равна сумме веса груза и силы инерции груза, возникающей в результате торможения его упругой системой.
Подставим выражение V [по формуле (9.14)] в равенство (8.14):
Но на основании формулы и, следовательно,
Здесь - перемещение от статически действующей силы Р по ее направлению.
Из условия (10.14)
В формуле (11.14) перед корнем взят знак плюс потому, что прогиб А не может быть отрицательным.
Скорость v падающего груза в момент соприкосновения с системой, подвергающейся удару, связана с высотой падения h соотношением
Поэтому формулу (11.14) можно представить и в таком виде:
На основании формул (7.14), (11.14) и (12.14) получаем следующее выражение динамического коэффициента:
Из принятой гипотезы следует, что динамические напряжения а относятся к величинам статических напряжений как соответствующие перемещения:
Таким образом, для определения наибольших напряжений и перемещений при ударе напряжения и перемещения, найденные в результате расчета системы на силу Р, действующую статически, следует умножить на динамический коэффициент или рассчитать систему на действие некоторой статической силы, но равной произведению
Рассмотрим теперь случай, когда высота падения груза равна нулю. Такой случай носит название внезапного действия (или мгновенного приложения) нагрузки. Он возможен, например, при раскружаливании железобетонного перекрытия, если стойки, поддерживающие опалубку, убрать мгновенно, выбив их одновременно все. При из формулы (13.14)
Следовательно, при внезапном действии нагрузки деформации системы и напряжения в ней вдвое больше, чем при статическом действии той же. нагрузки. Поэтому в случаях, когда это возможно, следует избегать внезапного приложения нагрузки, например раскружаливание перекрытия производить постепенно, при помощи домкратов, песочниц и т. п.
Если высота h падения груза во много раз больше перемещения то в выражении (13.14) можно пренебречь единицами и принять
Из формул (13.14) и (16.14) видно, что чем большие тем меньше Динамический коэффициент. При статической действии нагрузки напряжения в системе не зависят от модуля упругости материала, а при ударном действии зависят, так как величина обратно пропорциональна модулю, упругости.
Рассмотрим несколько примеров ударного, действия силы Р.
1. В случае продольного удара, вызывающего деформацию сжатия бруса постоянного сечения (см. рис. 6.14, а), АСТ и, следовательно, на основании формулы (13.14) динамический коэффициент
Наибольшие напряжения при таком ударе
Если высота падения h или скорость v велики, то
Из формулы (19.14) следует, что напряжения от удара обратно пропорциональны квадратному корню из объема бруса.
Для уменьшения динамических напряжений следует увеличивать податливость (уменьшать жесткость) системы, например, путем применения пружин, смягчающих удар. Предположим, что на брус, подвергающийся продольному удару, поставлена пружина (рис. 8.14). Тогда [см. формулу (30.6)]
где - диаметр проволоки (прутка) пружины; -средний диаметр пружины; - число витков пружины.
В этом случае динамический коэффициент
Сопоставление формулы (20.14) с выражением (17.14) показывает, что применение пружины приводит к уменьшению динамического коэффициента. При мягкой пружине (например, при большом значении или малом d) динамический коэффициент имеет величину меньшую, чем при жесткой.
2. Сравним прочность двух брусьев, подвергающихся продольному удару (рис. 9.14): одного - постоянного сечения с площадью F, а другого с площадью F на участке длиной и площадью в пределах остальной длины бруса
Для первого бруса
а для второго
Если длина очень мала, например при наличии поперечных выточек, то приближенно можно принять
При статическом действии силы оба бруса равнопрочны, так как наибольшие напряжения (при расчете без учета концентрации напряжений) в каждом из них При ударном же действии нагрузки динамический коэффициент по приближенной формуле (16.14) для первого бруса
а для второго (при малой величине )
т. е. в раз больше, чем для первого бруса. Таким образом, второй брус при ударном действии силы менее прочен, чем первый.
3. В случае изгибающего удара грузом Р, падающим с высоты h на середину балки, свободно лежащей на двух опорах (рис. ),
В этом случае динамический коэффициент [см. формулу (13.14)]
Наибольший изгибающий момент возникает в сечении посередине пролета балки:
Поперечная сила в сечениях балки
Переходя к расчету на удар с учетом массы упругой системы, подвергающейся удару, рассмотрим сначала случай, когда система обладает сосредоточенной массой (где - вес системы), расположенной в месте падения груза Р (рис. 10.14).
При этом будем различать три характерных момента.
1. Момент, непосредственно предшествующий соприкосновению груза Р с упругой системой, когда скорость груза Р равна v, а скорость массы равна нулю.
2. Момент соприкосновения груза Р с системой; при этом скорость с груза Р равна скорости движения упругой системы в месте удара.
3. Момент, когда упругая система получает наибольшее перемещение, а скорости груза Р и упругой системы равны нулю.
Скорость с определяется из условия, что при неупругом ударе количество движения до удара равно количеству движения после удара (см. курс теоретической механики), т. е.
(21.14)
Система под действием собственного веса Q еще до удара деформируется. Если - прогиб системы под силой Q, вызванный этой силой, то количество потенциальной энергии, накопленное системой до удара,
Обозначим А - наибольшее перемещение в месте падения груза Р, вызванное его ударным действием и силой
В момент времени, когда система получает такое перемещение, грузы Р и Q оказывают на систему наибольшее давление, равное где -динамический коэффициент, учитывающий вес груза Р, инерцию этого груза и инерцию груза Q. Рассматриваемому моменту времени соответствует наибольшее значение потенциальной энергии системы (кинетическая энергия в этот момент равна нулю, так как равны нулю скорости движения грузов Р и ):
где - потенциальная энергия системы до удара: кинетическая энергия груза и системы в момент их соприкосновения; - работа сил Р и Q на дополнительном перемещении (см. рис. 10.14) системы после удара.
Потенциальную энергию можно выразить также через силу и полное перемещение А [см. формулы (4.11) и (10.11]:
(23.14)
Приравняем друг другу выражения (22.14) и (23.14) и выразим в первом из них значение с через v [см. формулу (21.14)]. Тогда после некоторых преобразований
Обозначим прогиб системы под грузом Р от статического действия этого груза. Зависимость между перемещениями (от силы Q) и (от силы ) определяется формулами
Подставим эти выражения перемещений в уравнение (24.14) и преобразуем его:
Частицы системы, соприкасающиеся с грузом Р, после удара получают ту же скорость, что и груз остальные частицы после удара движутся с различными скоростями зависящими от положения частиц.
Для определения вызванных ударом наибольших динамических напряжений и перемещений с учетом массы упругой системы, так же как и при расчете без учета массы, напряжения и перемещения, найденные путем расчета системы на статическое действие силы Р, следует умножить на динамический коэффициент Прибавив к найденным значениям напряжения и деформации от собственного веса упругой системы (если по условию задачи их следует учитывать), получим полные напряжения и перемещения, возникающие при ударе.
Под ударом понимается взаимодействие движущихся навстречу друг другу тел в результате их соприкосновения, связанное с резким изменением скоростей точек этих тел за весьма малый промежуток времени.
Ударная нагрузка является динамической. Время удара измеряется в тысячных, а иногда и миллионных долях секунды, а сила удара достигает большой величины, например, действие кузнечного молота на кусок металла, удар падающего груза при забивке свай и др.
За очень малый промежуток времени скорость ударяющегося тела становится равной нулю. В этот момент напряжения и деформации в системе достигают наибольших значений. Целью расчета на удар и является определение наибольших деформаций и напряжений.
Система, подвергающаяся удару, может испытывать различные деформации, такие как сжатие, растяжение, изгиб, кручение, изгиб с кручением и др. Поэтому различают продольный, поперечный и скручивающий удары (рис. 13.5).
Рис. 13.5. Схемы ударных нагрузок
На рис. 13.5, а и 13.5, б показаны продольные удары – сжимающий и растягивающий, на рис 13.5, в показан поперечный изгибающий удар.
Скручивающий удар имеет место при падении груза G с высоты h или при резком снижении угловой скорости вала с маховиком, например, при внезапной его остановке (рис. 13.5, г, д).
Точное решение задачи о напряжениях и деформациях при ударе затруднительно, потому что неизвестен закон изменения скорости при соударении тел и, следовательно, действующих при ударе нагрузок, неизвестны силы сопротивления при ударе, чрезвычайно сложен закон распространения скорости деформации в системе, воспринимающей удар.
В практике применяют упрощенные методы расчета, основанные на следующих основных допущениях:
1) деформации стержня от ударяющего груза распространяются по всей длине стержня, они подчиняются закону Гука и подобны деформациям, возникающим от статического приложения того же груза. Поэтому связь между динамическими силами и перемещениями остается такой же, как и при статической нагрузке;
2) опорные устройства, как правило, полагают абсолютно жесткими;
3) ударяющее тело является абсолютно жестким и при ударе не отскакивает от системы.
Изучение напряжений и деформаций при ударе основано на использовании закона сохранения энергии. При этом предполагается, что кинетическая энергия падающего груза А численно равна потенциальной энергии деформации упругой системы U :
Рассмотрим сначала расчет на удар в случаях, когда масса упругого тела, подвергающегося удару, мала и ею можно пренебречь. Продольный ударгруза G падает с высоты h и ударяется о стержень, вызывая его сжатие на величину , которая больше деформации стержня ∆ ст при статическом действии груза G (рис. 13.6).
Кинетическая энергия падающего груза равна:
Потенциальная энергия численно равна площади треугольника диаграммы F дин – ∆ дин (рис. 13.7).
Рис.13.6. Схема удара сжатием
Рис. 13.7. Схема для определения потенциальной
энергии деформации при ударе
С учетом зависимости А = U имеем:
Выразим нагрузки через деформации:
Получим квадратное уравнение для определения
В формуле перед корнем следует взять знак «плюс», так как , тогда получим:
Динамический коэффициент будет равен:
Зная коэффициент, можно определить и напряжения:
Динамический коэффициент зависит от величины:
Следовательно, напряжения при ударе зависят не только от площади поперечного сечения стержня A (как при статическом приложении нагрузки), но и от длины стержня и жесткости материала Е . Чем больше длина l , тем напряжения при ударе будут меньшими. С увеличением модуля упругости напряжения увеличиваются.
С целью уменьшения динамических напряжений в технике используются различные амортизаторы, увеличивающие податливость стержня (резиновые прокладки, пружины) (рис. 13.8).
Рис. 13.8. Схема удара сжатием
с амортизатором – пружиной
В этом случае
Рассмотрим частные случаи.
1. При мгновенном приложении нагрузки, когда H = 0:
При этом напряжение и перемещение в два раза больше, чем при статическом приложении нагрузки.
2. Если высота падения груза Н велика, т. е.
то единицей в подкоренном выражении для определения динамического коэффициента можно пренебречь, тогда:
3. При очень больших величинах
можно пренебречьединицей и перед корнем. Тогда
Если известна скорость падения груза, а не высота падения, то динамический коэффициент может быть выражен через скорость. При свободном падении
·
Определение динамического коэффициента при продольном ударе стержней с переменным поперечным сечением.
Сравним прочность двух стержней, подвергающихся продольному удару. Один стержень имеет постоянную площадь сечения А , а другой на участке длиной l имеет площадь сечения A , а в пределах остальной длины стержня – nА , где п > 1 (рис. 13.9).
При статическом воздействии груза F оба бруса равнопрочны, так как наибольшие напряжения (при расчете без учета концентрации напряжений) в каждом из них
Рис. 13.9. Схема продольного удара
При ударном действии нагрузки динамический коэффициент для первого бруса равен:
Для второго бруса
Если длина l 1 очень мала, что имеет место, например, при наличии поперечных выточек, то приближенно можно принять:
Динамический коэффициент для второго стержня:
т. е. в раз больше, чем для первого стержня. Таким образом, второй брус при ударном действии нагрузки менее прочен, чем первый. Поэтому оказывается более выгодным уменьшать площадь сечения по всей длине стержня.
В качестве примера можно привести болт, передающий от одной части конструкции на другую растягивающий удар. Участок болта с нарезкой, имеющий меньший диаметр, будет работать как выточка. Обрыв болта весьма вероятен. Для улучшения конструкции необходимо сделать его площадь всюду (или почти всюду) равной площади по внутреннему диаметру нарезки. Этого можно достигать путем обтачиванием болта или высверливанием в нем канала (рис. 13.10).
Рис. 13.10. Болт, работающий на растягивающий удар
Поперечный изгибающий удар.
Рассмотрим балку, свободно лежащую на двух шарнирных опорах. Балка изгибается под действием груза F , падающего с высоты H (рис. 13.11).
Рис. 13.11. Схема поперечного изгибающего удара
Динамический коэффициент в этом случае определяется по формуле
где f ст – прогиб балки в месте падения груза при статическом ее нагружении.
Если а = b = l /2, то
Так же, как и при продольном ударе, внезапное приложение нагрузки на балку вызывает напряжение
Условие прочности при изгибающем ударе имеет такой же вид,
как и при продольном, т. е.
Учет массы тела, испытывающего удар.
Если груз падает на стержень, обладающий значительной массой, то решение значительно усложняется. Можно применить приближенное решение, оно сводится к замене реальной массы стержня приведенной массой, сосредоточенной в месте удара. Учет массы тела может оказать существенное влияние на динамические напряжения.
Если груз G падает на стержень, вес которого Q значителен, то динамический коэффициент определяется по формуле
где Н – высота падения;
β – коэффициент приведения массы стержня. Он зависит от способов закрепления концов стержня и вида удара (продольный, поперечный и т. д.). Для определения коэффициента β рассматривают кинетическую энергию стержня при его движении вследствие удара;
Q – вес ударяемого стержня;
G – вес падающего груза.
Рассмотрим частные случаи.
1. Продольный удар. Стержень постоянного сечения A защемлен одним концом. Объемный вес материала γ. Будем считать, что в момент удара верхний конец ударяемого стержня получает скорость V . Скорость нижележащих сечений стержня изменяется по линейному закону, достигая нулевого значения в нижнем сечении стержня (рис. 13.12).
Скорость движения произвольного сечения, расположенного на расстоянии х от нижнего сечения, будет равна:
Рис. 13.12. Схема продольного удара
Так как частицы стержня движутся, то стержень обладает кинетической энергией. Кинетическая энергия элементарной частицы стержня длиной dx будет равна:
Кинетическая энергия всего стержня с учетом данной формулы равна:
где т прив – приведенная масса стержня.
2. Поперечный удар. В этом случае балка постоянного поперечного сечения защемлена одним концом и испытывает удар груза на свободном конце (рис. 13.13)
Рис. 13.13. Схема консольной балки при ударе
Для балки, закрепленной шарнирно, удар приходится посередине пролета (рис. 13.14).
Рис. 13.14. Схема поперечного удара для однопролетной балки
Учет массы ударяемого стержня может значительно уменьшить динамический коэффициент.
More meanings of this word and English-Russian, Russian-English translations for the word «ДИНАМИЧЕСКИЙ УДАР» in dictionaries.
- УДАР — m. impact, blow, stroke, shock, thrust; упругий удар, elastic impact
- ДИНАМИЧЕСКИЙ — adj. dynamic, power, forced; динамическая система, dynamical system
Russian-English Dictionary of the Mathematical Sciences - УДАР — Collision
- ДИНАМИЧЕСКИЙ — Dynamic
Русско-Американский Английский словарь - УДАР — 1. (в разн. знач.) blow; stroke; воен. тж. thrust; (острым оружием) stab; (плетью) lash, …
- ДИНАМИЧЕСКИЙ — dynamic(al)
Англо-Русско-Английский словарь общей лексики - Сборник из лучших словарей - УДАР — body blow He has had a good many ups and downs in his life but his wife"s leaving him was …
- ДИНАМИЧЕСКИЙ — ~ный dynamic dynamic
Русско-Английский словарь общей тематики - УДАР — 1) beat 2) blow 3) impact 4) shock 5) физиол. stroke
Новый Русско-Английский биологический словарь - УДАР — Impact
Russian Learner"s Dictionary - УДАР — knock
Russian Learner"s Dictionary - ДИНАМИЧЕСКИЙ — dynamic
Russian Learner"s Dictionary - УДАР
Русско-Английский словарь - ДИНАМИЧЕСКИЙ — dynamic(al)
Русско-Английский словарь - УДАР — м. 1. (в разн. знач.) blow; stroke; воен. тж. thrust; (острым оружием) stab; (плетью) …
- ДИНАМИЧЕСКИЙ — dynamic(al)
Russian-English Smirnitsky abbreviations dictionary - УДАР — beat, blow, brunt, bump, clashing, crack, impulse, flap, hit, impact, impingement, kick, percussion, impact shock, shock, slap, stroke, thrust
- ДИНАМИЧЕСКИЙ — dynamics, (о нагрузке) live
Русско-Английский словарь по машиностроению и автоматизации производства - УДАР — муж. 1) (в разл. знач.) blow; воен. тж. thrust; (острым оружием) stab; (плетью) lash, slash; (ногой, копытом …
- ДИНАМИЧЕСКИЙ — прил. dynamic
Русско-Английский краткий словарь по общей лексике - УДАР — (механический) impulse, impact, knap, blow, cant, collision, shock, hit, jab, kick, knock, percussion, stroke, thrust
- ДИНАМИЧЕСКИЙ — dynamic
Русско-Английский словарь по строительству и новым строительным технологиям - УДАР — Collision
- ДИНАМИЧЕСКИЙ — Vigorous
Британский Русско-Английский словарь - ДИНАМИЧЕСКИЙ — Sprightly
Британский Русско-Английский словарь - ДИНАМИЧЕСКИЙ — Peppy
Британский Русско-Английский словарь - ДИНАМИЧЕСКИЙ — Go-ahead
Британский Русско-Английский словарь - ДИНАМИЧЕСКИЙ — Dynamics
Британский Русско-Английский словарь - ДИНАМИЧЕСКИЙ — Dynamic
Британский Русско-Английский словарь - ДИНАМИЧЕСКИЙ — Bouncy
Британский Русско-Английский словарь - УДАР — impulse, impulsion, kick, knock
- ДИНАМИЧЕСКИЙ — dynamic
Русско-Английский экономический словарь - УДАР — см. Размах на рубль — удар на копейку; см. Размах рублевый, удар фиговый
Англо-Русско-Английский словарь сленга, жаргона, русских имен - УДАР — 1. blow (тж. перен.) (рубящий) chop; (колющий) stab, thrust; (столкновение) impact; (звук от толчка, сотрясения) crash, thud; ~ ногой kick; наносить ~ кому-л. deal*/strike* smb. a …
- ДИНАМИЧЕСКИЙ — ~ный dynamic
Русско-Английский словарь - QD - УДАР — blow
Русско-Английский юридический словарь - УДАР — . Each impact of a molecule with (or on) a wall of the container ... . The impact …
Русско-Английский научно-технический словарь переводчика - ДИНАМИЧЕСКИЙ — run-time
Современный Русско-Английский словарь по машиностроению и автоматизации производства - УДАР — м. shock; beat; bump; knock - обратный удар
Русско-Aнглийский автомобильный словарь - УДАР — impact
- ДИНАМИЧЕСКИЙ — dynamic
Русско-Английский толковый словарь терминов и сокращений по ВТ, Интернету и программированию - УДАР — m impact
Russian-English WinCept Glass dictionary - УДАР — impact
Русско-Английский биологический словарь - УДАР — муж. 1) (в различных значениях) blow воен. тж. thrust (острым оружием) stab (плетью) lash, slash (ногой, копытом) kick (кулаком) punch, …
- ДИНАМИЧЕСКИЙ — прил. dynamic динамич|еский -, ~ный dynamic
Большой Русско-Английский словарь - УДАР — удар nock;kick;hit
- ДИНАМИЧЕСКИЙ — динамический dynamic
Русско-Английский словарь Сократ - STROKE
- STRIKE
Большой Англо-Русский словарь - KICK
Большой Англо-Русский словарь - DYNAMICIZER — I параллельно - последовательный преобразователь II устройство преобразования (данных) из статической формы в динамическую; динамический регистр dynamicizer вчт. динамический регистр
Большой Англо-Русский словарь - DYNAMICAL — прил. динамический Syn: dynamic динамический - * test (техническое) испытание на удар динамичный; активный, энергичный; движущий; живой - * …
Большой Англо-Русский словарь
Основные положения
Явление удара получается в том случае, когда скорость рассматриваемой части конструкции или соприкасающихся с ней частей изменяется в очень короткий период времени.
При забивке свай тяжелый груз падает с некоторой высоты на верхний торец сваи и погружает ее в грунт; баба останавливается почти мгновенно, вызывая удар. Аналогичные явления происходят при ковке; удар испытывают и проковываемое изделие и шток молота с бойком, так как последний очень быстро останавливается при соприкосновении с изделием. Во время удара между обеими ударяющимися деталями возникают весьма большие взаимные давления. Скорость ударяющего тела за очень короткий промежуток времени изменяется и в частном случае падает до нуля; тело останавливается. Значит, на него от ударяемой детали передаются очень большие ускорения, направленные в сторону, обратную его движению, т. е. передается реакция , равная произведению массы ударяющего тела на это ускорение.
Обозначая это ускорение через а, можно написать, что реакция , где Q вес ударяющего тела. По закону равенства действия и противодействия на ударяемую. часть конструкции передается такая же сила, но обратно направленная (рис.1). Эти силы и вызывают напряжения в обоих телах.
Рис.1. Расчетная схема ударного нагружения.
Таким образом, в ударяемой части конструкции возникают такие напряжения, как будто к ней была приложена сила инерции ударяющего тела; мы можем вычислить эти напряжения, рассматривая силу инерции как статическую нагрузку нашей конструкции. Затруднение заключается в вычислении этой силы инерции. Продолжительности удара, т. е. величины того промежутка времени, в течении которого происходит падение скорости до нуля, мы не знаем. Поэтому остается неизвестной величина ускорения а , а стало быть, и силы . Таким образом, хотя вычисление напряжений при ударе представляет собой частный случай задачи учета сил инерции, однако для вычисления силы и связанных с ней напряжений и деформаций здесь приходится применять иной прием и пользоваться законом сохранения энергии.
При ударе происходит очень быстрое превращение одного вида энергии в другой: кинетическая энергия ударяющего тела превращается в потенциальную энергию деформации. Выражая эту энергию в функции силы или напряжений, или деформаций получаем возможность вычислить эти величины.
Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе.
Предположим, что очень жесткое тело А весом Q , деформацией которого можно пренебречь, падая с некоторой высоты H , ударяет по другому телу B , опирающемуся на упругую систему С (рис.2). В частном случае это может быть падение груза на конец призматического стержня, другой конец которого закреплен (продольный удар), падение груза на балку, лежащую на опорах (изгибающий удар), и т. п.
Рис.2. Динамическая модель ударного нагружения.
В течение очень короткого промежутка времени упругая система С испытает некоторую деформацию. Обозначим через перемещение тела В (местной деформацией которого пренебрежем) в направлении удара. В упомянутых частных случаях при продольном ударе за перемещение соответственно нужно считать продольную деформацию стержня , при изгибающем ударе прогиб балки в ударяемом сечении и т. п. В результате удара в системе С возникнут напряжения ( или в зависимости от вида деформации).
Полагая, что кинетическая энергия Т ударяющего тела полностью переходит в потенциальную энергию деформации упругой системы, можем написать:
Вычислим теперь . При статической деформации потенциальная энергия численно равна половине произведения действующей силы на соответствующую деформацию:
Статическая деформация в ударяемом сечении может быть вычислена по закону Гука, который в общем виде можно записать так:
илиЗдесь с
некоторый коэффициент пропорциональности (называемый иногда жесткостью системы); он зависит от свойств материала, формы и размеров тела, вида деформации и положения ударяемого сечения. Так, при простом растяжении или сжатии , и ; при изгибе балки, шарнирно закрепленной по концам, сосредоточенной силой Q
посредине пролета 
и ; и т.д.
Таким образом, выражение для энергии может быть переписано так:
В основу этой формулы положены две предпосылки: а) справедливость закона Гука и б) постепенный от нуля до окончательного значения рост силы Q , напряжений и пропорциональных им деформаций .
Опыты с определением модуля упругости по наблюдениям над упругими колебаниями стержней показывают, что и при динамическом действии нагрузок закон Гука остается в силе, и модуль упругости сохраняет свою величину. Что касается характера нарастания напряжений и деформаций, то и при ударе деформация происходит, хотя и быстро, но не мгновенно; постепенно растет в течение очень короткого промежутка времени от нуля до окончательного значения; параллельно росту деформаций возрастают и напряжения .
Реакция системы С на действие упавшего груза Q (назовем ее ) является следствием развития деформации ; она растет параллельно от нуля до окончательной, максимальной величины и, если напряжения не превосходят предела пропорциональности материала, связана с ней законом Гука:
где с упомянутый выше коэффициент пропорциональности, сохраняющий свое значение и при ударе.
Таким образом, обе предпосылки для правильности формулы (3) принимаются и при ударе. Поэтому можно считать, что вид формулы для при ударе будет тот же, что и при статическом нагружении системы С силой инерции , т. е.
(Здесь учтено, что по предыдущему .) Подставляя значения Т и в уравнение (1), получаем:
или, удерживая перед радикалом для определения наибольшей величины деформации системы в направлении удара знак плюс, получаем:
Из этих формул видно, что величина динамических деформаций, напряжений и усилий зависит от величины статической деформации, т. е. от жесткости и продольных размеров ударяемого тела; ниже это дополнительно будет показано на отдельных примерах. Величина
Кроме того, так как
где энергия ударяющего тела к моменту начала удара, то выражение для динамического коэффициента может быть представлено еще и в таком виде:
 |
Если мы в формулах (4) и (5) положим , т. е. просто сразу приложим груз Q , то и ; при внезапном приложении силы Q деформации и напряжения вдвое больше, чем при статическом действии той же силы.
Наоборот, если высота падения груза Н (или скорость ) велика по сравнению с деформацией , то в подкоренном выражении формул (4) (8) можно пренебречь единицей по сравнению с величиной отношения . Тогда для и получаются следующие выражения:
Динамический коэффициент в этом случае определяется по формуле
 |
Необходимо отметить, что в то время как пренебрежение единицей 2Н в подкоренном выражении допустимо уже при (неточность приближенных формул будет не больше 5%). пренебрежение единицей, стоящей перед корнем, допустимо лишь при очень большой величине отношения .
Так, например, для того чтобы приближенные формулы (11) и (12) давали погрешность не более 10%, отношение должно быть больше 110.
Формулы и , в которых выражается через , могут быть использованы также для решения задачи о встречном ударе тел, двигающихся с некоторой скоростью, при определении напряжений в цилиндре двигателя внутреннего сгорания, вызванных резким повышением давления газа при вспышке горючей смеси и др. На этом основании их можно считать общими формулами для расчета на удар.
Обобщая сказанное выше, можем наметить следующий общий прием решения задач на определение напряжений при ударе. Применяя закон сохранения энергии, надо:
1) вычислить кинетическую энергию ударяющего тела Т ;
2) вычислить потенциальную энергию тел, воспринимающих удар, под нагрузкой их силами инерции при ударе; потенциальная энергия должна быть выражена через напряжение (,) в каком-либо сечении, через деформацию (удлинение, прогиб) или через силу инерции ударяющего тела;
3) приравнять величины и Т и из полученного уравнения найти или непосредственно динамическое напряжение, или деформацию, а по ней, пользуясь законом Гука, напряжение или силу и соответствующие ей динамические напряжения и деформации.
Описанный общий прием расчета на удар предполагает, что вся кинетическая энергия ударяющего тела целиком переходит в потенциальную энергию деформации упругой системы. Это предположение не точно. Кинетическая энергия падающего груза частично превращается в тепловую энергию и энергию неупругой деформации основания, на которое опирается система.
Вместе с тем при высоких скоростях удара деформация за время удара не успевает распространиться на весь объем ударяемого тела и в месте удара возникают значительные местные напряжения, иногда превосходящие предел текучести материала. Так, например, при ударе свинцовым молотком по стальной балке большая часть кинетической энергии превращается в энергию местных деформаций. Подобное же явление может иметь место даже и в том случае, когда скорость удара мала, но жесткость или масса ударяемой конструкции велика.
Указанные случай соответствуют большим величинам дроби . Поэтому можно сказать, что описанный выше метод расчета применим, пока дробь не превышает определенной величины. Более точные исследования показывают, что ошибка не превышает 10% если . Так как эта дробь может быть представлена в виде отношения , то можно сказать, что изложенный метод применим, пока энергия удара превышает не более чем в 100 раз потенциальную энергию деформации, соответствующую статической нагрузке конструкции весом ударяющего груза. Учет массы ударяемого тела при ударе позволяет несколько расширить пределы применимости этого метода в тех случаях, когда масса ударяемого тела велика.
Более точная теория удара излагается в курсах теории упругости.
Расчет на прочность при ударе в обычной работе инженера-конструктора встречается не очень часто. Поэтому возникновение такой задачи может поставить в тупик своей неожиданностью. Расчеты при ударных, то есть динамических нагрузках очень сложны и часто производятся...
По эмпирическим – полученным из практических опытов — методикам и формулам. В этой статье мы рассмотрим расчет по приближенной теоретической формуле, которая, однако, позволяет быстро, просто, понятно и с достаточной для многих случаев жизни точностью учесть динамическую составляющую нагрузки!
Выполним расчет на прочность и определим прогиб балки при воздействии ударной нагрузки на примере консоли.
Общий подход к статическим расчетам на прочность при изгибе подробно изложен в статье « », где приведены уравнения общего вида, позволяющие произвести расчет на прочность балки с любыми опорами и при любых нагрузках.
Расчеты выполним в программе MS Excel. Вместо MS Excel можно воспользоваться программой OOo Calc из свободно распространяемого пакета Open Office.
С правилами форматирования ячеек листа Excel, которые применены в статьях этого блога, можно ознакомиться на странице « ».
Расчет консольной балки при ударе.
Расчет на прочность, который мы будем выполнять, является приблизительным.
Во-первых, предполагаем, что вся потенциальная энергия груза, падающего с некоторой высоты, переходит в кинетическую энергию, которая при соприкосновении груза с балкой полностью переходит в потенциальную энергию деформации. В реальности часть энергии превращается в тепло.
Во-вторых, мы не будем учитывать в расчете массу балки. То есть прогиб балки под действием собственного веса примем равным нулю! (Чем меньше вес балки относительно веса груза, тем точнее результаты, полученные по рассматриваемой методике расчета!)
В-третьих, прогиб балки при ударе будем определять как прогиб от статического воздействия груза с весом больше реального веса груза на величину, определяемую коэффициентом динамичности. То есть силу при ударе найдем как сумму веса и силы инерции груза при торможении.
В-четвертых, считаем, что груз не отскакивает при ударе, а перемещается на величину динамического прогиба вместе с балкой. То есть удар абсолютно неупругий!
В-пятых, учтем ограничение, что ошибка расчета не превысит 8…12% только в случае, если рассчитанный коэффициент динамичности будет не более 12!
На рисунке, расположенном ниже, изображена расчетная схема.
Составим в Excel программу и в качестве примера выполним расчет на прочность и определим прогиб балки круглого сечения.
Исходные данные:
1. Вес груза G в Н записываем
в ячейку D3: 50
2. Высоту падения груза h в мм заносим
в ячейку D4: 400
3. Длину консольной балки L в мм вписываем
в ячейку D5: 2500
4. Осевой момент инерции поперечного сечения балки I x в мм 4 вычисляем для диаметра d =36 мм
в ячейке D6: =ПИ()*36^4/64 =82448
I x = π * d 4 /64
5. Осевой момент сопротивления поперечного сечения балки W x в мм 3 вычисляем для диаметра d =36 мм
в ячейке D7: =ПИ()*36^3/32 =4580
W x = π * d 3 /32
6. Допустимые напряжения материала балки (Ст3 сп5) при изгибе [ σ и ] в Н/мм 2 записываем
в ячейку D8: 235
7. Модуль упругости материала балки E в Н/мм 2 вписываем
в ячейку D9: 215000
Результаты расчетов:
8. Максимальный изгибающий момент при статическом воздействии груза Mст x в Н*мм определяем
в ячейке D11: =D3*D5 =125000
Mст x = G * L
9. Максимальное напряжение при статическом воздействии груза σ ст в Н/мм 2 вычисляем
в ячейке D12: =D11/D7 =27
σ ст = Mст x / W x
10. Прогиб края консоли от статического воздействия груза Vст y в Н/мм 2 рассчитываем
в ячейке D13: =D3*D5^3/3/D9/D6 =14,7
Vст y = G * L 3 /(3* E * I x )
11. Коэффициент динамичности K д вычисляем
в ячейке D14: =1+(1+2*D4/D13)^0,5 =8,45
K д = 1+(1+2* h /Vст y ) 0,5
12. Максимальное напряжение при динамическом воздействии груза σ д в Н/мм 2 вычисляем
в ячейке D15: =D12*D14 =231
σ д = σ ст * K д
13. Прогиб балки в точке удара при динамическом воздействии груза Vд y в мм определяем
в ячейке D16: =D13*D14 =124,1
Vд y = Vст y * K д
14. Коэффициент запаса прочности k вычисляем
в ячейке D17: =D8/D15 =1,02
k = [ σ и ] /σ д
Заключение.
Созданный расчет в Excel можно использовать для расчета на прочность при ударе консольных балок любого сечения. Для этого в исходных данных необходимо предварительно рассчитать осевые моменты инерции и сопротивления соответствующего сечения.
Для балок с другими вариантами опор следует найти прогиб и напряжение от статического воздействия груза по соответствующим схеме опор формулам, затем по приведенной в п.11 формуле рассчитать коэффициент динамичности и определить прогиб балки в точке удара и максимальное напряжение в опасном сечении при ударе.
Опасное сечение – это сечение, в котором напряжение максимально и, соответственно, в котором начнется изгиб при достижении напряжением предельного значения. Определяется это сечение индивидуально для конкретных схем из эпюр и расчетов.
Коэффициент динамичности зависит – как следует из формулы – от высоты падения груза и величины прогиба при статическом приложении нагрузки. Чем больше высота падения, тем больше коэффициент динамичности. Это понятно, но почему этот коэффициент возрастает при уменьшении статического прогиба? Дело в том, что, чем меньше статический прогиб, тем жестче балка и тем быстрее остановится падающий груз после касания. Чем меньше время и путь торможения груза, тем больше ускорение (точнее торможение – ускорение с отрицательным знаком), а значит больше и сила инерции, которая по второму закону Ньютона, как известно, равна произведению массы тела на ускорение! Спрыгнуть на батут с высоты четырех метров можно легко, а вот на бетонный пол – чревато последствиями…
Подписывайтесь на анонсы статей в окне, расположенном в конце каждой статьи или в окне вверху страницы.
Не забывайте подтверждать подписку кликом по ссылке в письме, которое тут же придет к вам на указанную почту (может прийти в папку « Спам» )!!!
Оставляйте ваши комментарии, уважаемые читатели! Ваш опыт и мнение будут интересны и полезны коллегам!!!
Прошу уважающих труд автора скачивать файл после подписки на анонсы статей!
